Kandungan

• Langkah-langkah
• Petua

Ahli matematik dan pengaturcara grafik sering perlu mencari sudut antara dua vektor. Nasib baik, formula yang digunakan untuk mengira sudut ini tidak memerlukan lebih dari sekadar produk skalar sederhana. Walaupun alasan di sebalik formula ini lebih mudah difahami ketika menggunakan vektor dua dimensi, kita dapat dengan mudah menyesuaikannya dengan vektor dengan sejumlah komponen.

Langkah-langkah

Bahagian 1 dari 2: Hitung sudut antara dua vektor

1. 

   Kenal pasti dua vektor tersebut. Tuliskan semua maklumat yang diketahui mengenai dua vektor tersebut. Untuk tujuan tutorial ini, kami akan menganggap bahawa anda mengetahui vektor hanya dari segi koordinat dimensi mereka (juga disebut komponen). Sekiranya anda sudah mengetahui modul atau standard vektor ini (iaitu panjangnya), anda boleh melangkau beberapa langkah di bawah.
   • Contoh: kita akan mempertimbangkan vektor dua dimensi = (2,2) dan = (0,3). Kedua vektor ini boleh ditulis semula sebagai = 2i + 2j e = 0i + 3j = 3j.
   • Walaupun contoh kami menggunakan vektor dua dimensi, kami dapat menerapkan petunjuk berikut kepada vektor dengan sebilangan komponen.

2. 

   
   
   Tuliskan formula kosinus. Untuk mencari nilai sudut θ di antara dua vektor, kita mesti mengira kosinus sudut itu terlebih dahulu. Anda boleh mencari dan mengetahui formula secara terperinci atau menulisnya seperti di bawah:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| mewakili modul (atau panjang) vektor ".
   • • mewakili produk skalar (atau produk dalaman) kedua-dua vektor.

3. 

   
   
   Hitung modulus setiap vektor. Bayangkan segitiga tepat dibentuk oleh komponen x vektor, komponennya y dan vektor itu sendiri. Dalam segitiga ini, vektor memainkan peranan sebagai hipotenus; oleh itu, untuk mengetahui panjangnya, kami akan menerapkan teorem Pythagoras. Hasilnya, formula ini mudah digunakan untuk vektor dengan sebilangan besar komponen.
   • || u || = awak₁ + awak₂. Sekiranya vektor mempunyai lebih daripada dua komponen, teruskan menambahkan + u₃ + awak₄ +...
   • Oleh itu, untuk vektor dua dimensi, kita harus || u || = √ (u₁ + awak₂).
   • Dalam contoh kami, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Hitung produk skalar antara dua vektor. Anda semestinya sudah mengetahui kaedah untuk mengalikan vektor, juga disebut produk skalar. Untuk mengira produk skalar dari dua vektor dari segi komponennya, kami mengalikan komponen dalam arah yang sama antara satu sama lain dan kemudian menambahkan hasil produk tersebut.
   • Sekiranya anda bekerja dengan program grafik komputer, lawati bahagian "Petua" terlebih dahulu sebelum meneruskan.
   • Dalam istilah matematik, • = u₁v₁ + awak₂v₂, di mana u = (u₁, awak₂). Sekiranya vektor anda mempunyai lebih daripada dua komponen, teruskan menambahkan + u₃v₃ + awak₄v₄...
   • Dalam contoh kami, • = u₁v₁ + awak₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Ini adalah nilai produk skalar antara vektor dan.

5. 

   Ganti hasil ini dalam formula kosinus. Ingat, cosθ = (•) / (|||| || ||). Kami telah mengira produk skalar dan modul kedua vektor. Sekarang, mari ganti nilai-nilai ini dalam formula dan hitung kosinus sudut.
   • Dalam contoh kami, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Cari sudut berdasarkan kosinus anda.
   Gunakan fungsi busur atau kos kalkulator anda untuk menentukan sudut θ dari nilai kosinus anda. Dalam beberapa kes, anda mungkin dapat mencari nilai sudut berdasarkan bulatan unit.
   • Dalam contoh kami, cosθ = √2 / 2. Ketik "arccos (√2 ​​/ 2)" di kalkulator anda untuk mencari sudut. Pilihan lain adalah mencari sudut θ dari bulatan unit di mana cosθ = √2 / 2: ini akan berlaku untuk θ = /₄ atau 45 °.
   • Dengan menyatukan semua maklumat, kita akan mempunyai formula akhir θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))

Bahagian 2 dari 2: Menentukan formula untuk mengira sudut

1. 

   Fahami tujuan formula. Rumus yang kami gunakan untuk mengira sudut antara dua vektor tidak berasal dari peraturan yang sudah ada; sebaliknya, ia diciptakan sebagai definisi produk skalar antara dua vektor dan sudut di antara keduanya. Walau bagaimanapun, keputusan ini tidak sewenang-wenangnya. Dengan melihat geometri asas dengan lebih dekat, kita dapat melihat mengapa formula ini menghasilkan definisi yang berguna dan intuitif.
   • Contoh berikut menggunakan vektor dua dimensi kerana ia adalah jenis yang paling intuitif untuk digunakan. Vektor tiga dimensi atau lebih mempunyai sifatnya yang ditentukan dari formula umum (juga dengan cara yang sangat serupa).

2. 

   Kaji semula hukum kosinus. Dalam segitiga apa pun, pertimbangkan sudut θ yang dibentuk oleh sisi The dan B dan sisi ç bertentangan dengan sudut itu. Menurut hukum kosinus, c = a + b -2abtali pinggang(θ). Demonstrasi formula ini dapat diperoleh dengan mudah dari pengetahuan tentang geometri asas.

3. 

   Sambungkan dua vektor untuk membentuk segitiga. Lukis sepasang vektor, dan, dengan sudut θ di antara mereka. Kemudian, lukiskan vektor ketiga di antara mereka untuk membentuk segitiga. Dengan kata lain, lukiskan vektor sehingga + =, atau sekadar = -.

4. 

   Terapkan hukum kosinus pada segitiga ini. Gantikan panjang sisi kami segitiga vektor (iaitu modul vektor) dalam formula undang-undang kosinus:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||tali pinggang(θ)

5. 

   Tulis semula formula menggunakan produk skalar. Ingat bahawa produk titik adalah pembesaran satu vektor yang diproyeksikan pada yang lain. Produk skalar vektor itu sendiri tidak memerlukan unjuran kerana tidak ada perubahan arah. Ini bermaksud bahawa • = || a ||. Berdasarkan maklumat ini, mari tulis semula persamaan undang-undang kosinus:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||tali pinggang(θ)

6. 

   Permudahkan formula. Kembangkan produk di sebelah kiri persamaan dan kemudian permudahkan sehingga anda mencapai formula yang kami tahu untuk mengira sudut.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||tali pinggang(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||tali pinggang(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||tali pinggang(θ)
   • • = || a || || b ||tali pinggang(θ)

Petua

• Untuk penyelesaian pantas, gunakan formula berikut pada mana-mana pasangan vektor dua dimensi: cosθ = (u₁ • v₁ + awak₂ • v₂) / (√ (u₁ • awak₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Sekiranya anda bekerja dengan program grafik komputer, kemungkinan besar anda hanya perlu mengetahui arah vektor, bukan panjangnya. Ikuti langkah di bawah untuk mempermudah persamaan dan mempercepat program anda:
  • Menormalkan setiap vektor, iaitu mencari vektor unit yang mempunyai arah yang sama dengan vektor asal. Untuk melakukan ini, bahagikan setiap komponen vektor dengan modul vektor.
  • Hitung produk skalar vektor normal, bukan vektor asal.
  • Oleh kerana modulus (iaitu panjang) vektor yang dinormalisasi adalah satu, kita boleh meninggalkannya dari formula. Persamaan terakhir anda untuk mengira sudut ialah lengkok (•).
• Berdasarkan formula undang-undang kosinus, kita dapat dengan cepat mengetahui apakah sudut yang dimaksudkan adalah akut atau tidak jelas. Mulakan dengan cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Bahagian kiri dan kanan persamaan mesti mempunyai tanda yang sama (positif atau negatif).
  • Oleh kerana panjangnya selalu positif, cosθ akan selalu mempunyai tanda yang sama dengan produk skalar.
  • Oleh itu, jika produk skalar positif, cosθ akan positif. Ini bermaksud bahawa sudut berada pada kuadran pertama lingkaran unit, iaitu, θ <π / 2 atau 90 °. Oleh itu, sudut adalah akut.
  • Sekiranya produk skalar negatif, cosθ adalah negatif. Ini bermaksud bahawa sudut berada di kuadran kedua lingkaran unit, iaitu, π / 2 <θ ≤ π atau 90 ° <θ ≤ 180 °. Oleh itu, sudut tidak jelas.